$course$/QCM de NSI/Première/Logique booléenne et fonctions logiques Opérateurs logiques (ET, OU, NON, XOR, NAND), tables de vérité,
propriétés algébriques de l'algèbre de Boole, lois de De Morgan,
simplification d'expressions et lien avec la programmation Python.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q01 : Comportement de l'opérateur OU Quelle est la valeur de sortie d'un opérateur OU inclusif ($a + b$)
si l'entrée $a$ vaut $1$ et l'entrée $b$ vaut $1$ ?

]]> Le OU inclusif est défini par la table de vérité :
$(0,0)\to 0$, $(0,1)\to 1$, $(1,0)\to 1$, $(1,1)\to 1$.
Il s'oppose au OU exclusif (XOR) qui renvoie $0$ pour $(1,1)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La sortie vaut $2$

]]> Erreur : confusion avec une addition arithmétique. La logique
booléenne ne manipule que les valeurs $0$ et $1$, jamais $2$.

]]> La sortie vaut $0$

]]> Erreur : confusion avec le OU exclusif (XOR), qui vaut $0$
lorsque les deux entrées sont identiques. Avec le OU inclusif,
dès qu'au moins une entrée vaut $1$, la sortie vaut $1$.

]]> La sortie est indéterminée

]]> Erreur : la sortie d'une fonction logique est toujours
déterminée par sa table de vérité, sans ambiguïté.

]]> La sortie vaut $1$

]]> Bonne réponse : le OU inclusif renvoie $1$ dès qu'au moins
une entrée vaut $1$. Sa table de vérité ne contient un $0$
que pour la combinaison $(0, 0)$.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q02 : Structure des tables de vérité Combien de lignes comporte la table de vérité d'une fonction
logique possédant $4$ variables d'entrée ?

]]> Avec $n$ variables booléennes, chacune peut valoir $0$ ou $1$
indépendamment des autres, donc la table de vérité contient
$2^n$ lignes. Pour $n = 4$, on obtient $2^4 = 16$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle comporte $12$ lignes

]]> Erreur : confusion avec $4 \times 3$ (produit) au lieu de
$2^4$ (puissance). Le bon raisonnement est combinatoire :
chaque variable peut prendre $2$ valeurs indépendamment.

]]> Elle comporte $16$ lignes

]]> Bonne réponse : $2^4 = 16$ combinaisons possibles pour
quatre variables binaires.

]]> Elle comporte $8$ lignes

]]> Erreur : c'est le nombre de lignes pour $3$ variables ($2^3$).
Avec $4$ variables, il faut calculer $2^4$.

]]> Elle comporte $4$ lignes

]]> Erreur : confusion entre le nombre de variables et le nombre
de combinaisons. Avec $n$ variables, on a $2^n$ combinaisons,
pas $n$.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q03 : Syntaxe de programmation Quel mot-clé Python correspond à l'opérateur de négation
logique (NON) ?

]]> Python privilégie une syntaxe en mots anglais lisibles :
not, and et or. Les opérateurs symboliques &, |, ~
existent mais opèrent bit à bit sur les entiers, pas sur les
booléens.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le mot-clé inv

]]> Erreur : inv n'existe pas en Python comme mot-clé
de négation. À ne pas confondre avec ~ qui est
l'inversion bit à bit (opérateur sur les entiers).

]]> Le mot-clé not

]]> Bonne réponse : Python utilise les mots-clés en toutes
lettres : not, and et or.

]]> Le mot-clé negative

]]> Erreur : negative n'est pas un mot-clé Python.
Le mot-clé est not.

]]> Le symbole !

]]> Erreur : c'est la syntaxe du C, du C++, de Java ou de
JavaScript, pas celle de Python.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q04 : Étude de l'élément absorbant D'après les propriétés du ET logique ($\cdot$), que vaut
systématiquement l'expression $a \cdot 0$ ?

]]> Dans l'algèbre de Boole, $0$ est l'élément absorbant du ET et
l'élément neutre du OU. Symétriquement, $1$ est l'élément
neutre du ET et l'élément absorbant du OU.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle vaut $a$

]]> Erreur : confusion avec l'élément neutre. C'est $a \cdot 1$
qui vaut $a$ ; avec $0$ comme second opérande, le résultat
est forcément $0$ (élément absorbant).

]]> Elle vaut $0$

]]> Bonne réponse : $0$ est l'élément absorbant du ET logique.
Quelle que soit la valeur de $a$, le produit $a \cdot 0$ vaut $0$.

]]> Elle vaut $\overline{a}$

]]> Erreur : il n'y a aucune négation dans l'expression. Le ET
avec $0$ donne toujours $0$, pas le complémentaire de $a$.

]]> Elle vaut $1$

]]> Erreur : confusion possible avec le OU logique. Pour le ET,
la sortie ne vaut $1$ que si toutes les entrées valent $1$.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q05 : Principes fondamentaux Laquelle de ces expressions illustre la propriété dite du
« tiers exclu » ?

]]> Le tiers exclu affirme qu'une proposition est soit vraie,
soit fausse, sans tierce alternative : $a + \overline{a} = 1$.
Sa propriété duale, le principe de non-contradiction, s'écrit
$a \cdot \overline{a} = 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $a \cdot 1 = a$

]]> Erreur : c'est l'identité de l'élément neutre du ET.
Sans rapport avec le tiers exclu.

]]> $\overline{\overline{a}} = a$

]]> Erreur : c'est la propriété d'involution (ou double
négation), qui dit que nier deux fois redonne la valeur
de départ.

]]> $a \cdot \overline{a} = 0$

]]> Erreur : c'est la propriété du « principe de
non-contradiction », pas celle du tiers exclu. Une variable
et son complément ne peuvent pas être vraies en même temps.

]]> $a + \overline{a} = 1$

]]> Bonne réponse : « entre une proposition et sa négation,
il n'y a pas de troisième possibilité ». L'union des deux
est toujours vraie.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q06 : Transformation d'expressions Quelle est la seconde loi de De Morgan, relative au
complément d'un produit ($\overline{a \cdot b}$) ?

]]> Les lois de De Morgan permettent de transformer le complément
d'une opération binaire :
$\overline{a + b} = \overline{a} \cdot \overline{b}$ et
$\overline{a \cdot b} = \overline{a} + \overline{b}$.
Mémo : « on inverse chaque variable et on échange les opérateurs ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\overline{a \cdot b} = a + b$

]]> Erreur : on a bien transformé le ET en OU, mais on a
oublié de complémenter chaque variable.

]]> $\overline{a + b} = \overline{a} \cdot \overline{b}$

]]> Erreur : c'est la première loi de De Morgan (complément
d'une somme), pas la seconde demandée.

]]> $\overline{a \cdot b} = \overline{a} \cdot \overline{b}$

]]> Erreur : on a bien complémenté chaque variable, mais on a
oublié de changer l'opérateur. De Morgan transforme un
produit en somme et réciproquement.

]]> $\overline{a \cdot b} = \overline{a} + \overline{b}$

]]> Bonne réponse : on complémente chaque variable et on
remplace le ET par un OU. C'est bien la seconde loi de
De Morgan.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q07 : Simplification algébrique Que vaut l'expression simplifiée $a + a \cdot b$ d'après les
lois d'absorption ?

]]> Loi d'absorption : $a + a \cdot b = a \cdot (1 + b) = a \cdot 1 = a$.
Sa duale s'écrit $a \cdot (a + b) = a$. À distinguer de
$a + \overline{a} \cdot b = a + b$ qui est une autre identité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle vaut $1$

]]> Erreur : si $a = 0$ et $b = 0$, l'expression vaut $0$,
donc elle ne peut pas être identiquement égale à $1$.

]]> Elle vaut $b$

]]> Erreur : oubli de la variable dominante. Si $a = 1$,
l'expression vaut $1$ même quand $b = 0$ : elle ne peut
donc pas se réduire à $b$.

]]> Elle vaut $a + b$

]]> Erreur : c'est la simplification d'une autre absorption,
$a + \overline{a} \cdot b = a + b$. Ici, le facteur est $b$
(sans complément), donc la simplification est plus forte.

]]> Elle vaut $a$

]]> Bonne réponse : on factorise par $a$ pour obtenir
$a \cdot (1 + b) = a \cdot 1 = a$. La présence de $b$
n'apporte rien quand $a$ est déjà vrai.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q08 : Étude du OU exclusif Dans quel cas précis la fonction XOR ($a \oplus b$) renvoie-t-elle
la valeur $1$ ?

]]> Table de vérité du XOR : $(0,0)\to 0$, $(0,1)\to 1$,
$(1,0)\to 1$, $(1,1)\to 0$. C'est l'opérateur de
« différence » ou « non-équivalence ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Lorsque les deux entrées sont identiques

]]> Erreur : c'est exactement le contraire. Le XOR renvoie $0$
(et non $1$) lorsque les deux entrées sont identiques.
Cette condition décrit plutôt la fonction NXOR (équivalence).

]]> Lorsque exactement une des deux entrées vaut $1$

]]> Bonne réponse : le XOR détecte la différence entre les
entrées. Il renvoie $1$ si et seulement si exactement
une seule des deux entrées vaut $1$.

]]> Lorsque les deux entrées valent $1$

]]> Erreur : pour $(1, 1)$, le XOR renvoie $0$ et non $1$.
C'est précisément ce qui le différencie du OU inclusif.

]]> Lorsque au moins une entrée vaut $0$

]]> Erreur : pour $(0, 0)$, au moins une entrée vaut $0$
mais le XOR renvoie $0$, pas $1$. La condition n'est
donc pas suffisante.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q09 : Propriétés des portes logiques Pourquoi la fonction NAND ($a \uparrow b$) est-elle qualifiée
d'universelle ?

]]> Une porte est dite universelle si elle permet à elle seule
de construire toutes les autres fonctions logiques. Le NAND
et le NOR sont les deux portes universelles classiques, ce qui
explique leur importance en conception de circuits intégrés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est la seule à posséder $2$ entrées

]]> Erreur : la plupart des opérateurs binaires (ET, OU, XOR,
NAND, NOR) ont $2$ entrées. Ce n'est pas une caractéristique
propre au NAND.

]]> Elle permet de reconstruire toutes les autres fonctions logiques

]]> Bonne réponse : avec uniquement des portes NAND, on peut
réaliser le NON, le ET, le OU et toutes les fonctions
logiques composées. La fonction NOR a la même propriété.

]]> Elle renvoie toujours la valeur $1$ en sortie

]]> Erreur : la table de vérité du NAND donne $0$ pour $(1,1)$.
Sa sortie n'est donc pas constante.

]]> Elle est compatible avec tous les processeurs

]]> Erreur : « universelle » est un qualificatif d'algèbre
booléenne, pas de matériel. Il signifie que toute autre
fonction logique peut être exprimée à partir d'elle seule.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q10 : Analyse d'un circuit Dans un multiplexeur défini par $(\overline{x} \cdot y) + (x \cdot z)$,
que vaut la sortie si $x = 1$ ?

]]> Un multiplexeur $2$ vers $1$ d'expression
$s = (\overline{x} \cdot y) + (x \cdot z)$ utilise $x$ comme
sélecteur : si $x = 0$, la sortie reproduit $y$ ; si $x = 1$,
elle reproduit $z$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La sortie prend la valeur de l'entrée $z$

]]> Bonne réponse : avec $x = 1$, on a $\overline{x} = 0$,
donc le terme $\overline{x} \cdot y$ vaut $0$ et il reste
$x \cdot z = z$. Le multiplexeur sélectionne bien $z$.

]]> La sortie est forcée à $0$

]]> Erreur : la sortie n'est pas constante, elle dépend de la
valeur de $z$. Pour $z = 1$ par exemple, la sortie vaut $1$.

]]> La sortie est forcée à $1$

]]> Erreur : la valeur de sortie dépend encore de $z$, donc
elle n'est pas forcée. Si $z = 0$, la sortie vaut $0$.

]]> La sortie prend la valeur de l'entrée $y$

]]> Erreur : c'est la valeur prise par la sortie quand $x = 0$,
pas quand $x = 1$. Quand $x = 0$, on a $\overline{x} = 1$
et c'est la branche $y$ qui est sélectionnée.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q11 : Comportement du OU avec deux entrées à $0$ Quelle est la valeur de l'expression $a + b$ lorsque $a = 0$ et $b = 0$ ?

]]> Le OU inclusif vaut $0$ uniquement pour la combinaison $(0, 0)$.
Pour toutes les autres combinaisons, au moins une entrée vaut $1$
et la sortie vaut $1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle vaut $2$

]]> Erreur : confusion avec une addition arithmétique. La logique
booléenne ne manipule que les valeurs $0$ et $1$.

]]> Elle vaut $0$

]]> Bonne réponse : le OU vaut $0$ uniquement quand toutes ses
entrées valent $0$. C'est le seul cas qui donne $0$ pour le
OU inclusif.

]]> Elle vaut $1$

]]> Erreur : confusion possible avec l'élément absorbant du OU
($a + 1 = 1$). Avec deux entrées à $0$, la sortie vaut $0$.

]]> Elle est indéterminée

]]> Erreur : la sortie d'une fonction logique est entièrement
déterminée par sa table de vérité.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q12 : Loi d'idempotence du ET D'après la propriété d'idempotence, à quoi est égale l'expression
$a \cdot a$ ?

]]> L'idempotence est valable pour les deux opérateurs :
$a \cdot a = a$ et $a + a = a$. C'est une particularité de
l'algèbre de Boole que l'on n'a pas en arithmétique classique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle vaut $a$

]]> Bonne réponse : c'est la loi d'idempotence du ET. Le ET d'un
booléen avec lui-même donne ce booléen.

]]> Elle vaut $0$

]]> Erreur : c'est $a \cdot \overline{a}$ qui vaut $0$ (principe
de non-contradiction), pas $a \cdot a$.

]]> Elle vaut $a^2$

]]> Erreur : confusion avec l'arithmétique. En algèbre de Boole,
$1 \cdot 1 = 1$ et $0 \cdot 0 = 0$, donc le résultat est
simplement $a$.

]]> Elle vaut $\overline{a}$

]]> Erreur : il n'y a pas de complémentation dans l'expression.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q13 : Élément neutre du OU Que vaut systématiquement l'expression $a + 0$ ?

]]> Mémo : pour le OU, $0$ est neutre et $1$ est absorbant. Pour le
ET, c'est l'inverse : $1$ est neutre et $0$ est absorbant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle vaut $a$

]]> Bonne réponse : $0$ est l'élément neutre du OU. Ajouter $0$
ne change pas la valeur de $a$.

]]> Elle vaut $1$

]]> Erreur : c'est $a + 1$ qui vaut $1$ (élément absorbant du OU).

]]> Elle vaut $0$

]]> Erreur : confusion avec l'élément absorbant du ET ($a \cdot 0 = 0$).
Pour le OU, $0$ est l'élément neutre, pas absorbant.

]]> Elle vaut $\overline{a}$

]]> Erreur : il n'y a pas de complémentation dans l'expression.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q14 : Évaluation de la fonction NOR La fonction NOR (NON-OU) est définie par $\overline{a + b}$.
Quelle est sa valeur pour $a = 0$ et $b = 0$ ?

]]> La NOR ne vaut $1$ que pour $(0, 0)$ et vaut $0$ pour toutes les
autres combinaisons. Comme la NAND, elle est universelle :
tout circuit logique peut être réalisé avec uniquement des NOR.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est indéterminée

]]> Erreur : la NOR a une table de vérité parfaitement définie.

]]> Elle vaut $\overline{a}$

]]> Erreur : la NOR ne dépend pas que de $a$ ; elle dépend des
deux entrées.

]]> Elle vaut $0$

]]> Erreur : oubli de la négation finale. $a + b = 0$ pour $(0, 0)$,
donc $\overline{a + b} = \overline{0} = 1$.

]]> Elle vaut $1$

]]> Bonne réponse : $0 + 0 = 0$, et $\overline{0} = 1$. La NOR vaut
$1$ uniquement pour cette combinaison.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q15 : Comparaison et affectation en Python Quel symbole utilise-t-on en Python pour tester l'égalité de deux
valeurs ?

]]> Python utilise = pour affecter et == pour comparer. Confondre
les deux est une source classique de bugs : if a = 5: produit
une erreur de syntaxe (à dessein, pour éviter les confusions
involontaires).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le symbole :=

]]> Erreur : := est l'opérateur d'affectation dans une expression
(« walrus operator »), introduit en Python 3.8. Il n'est pas
un test d'égalité.

]]> Le symbole =

]]> Erreur : = est l'opérateur d'affectation, pas de comparaison.
C'est l'erreur classique en Python : a = 5 affecte $5$ à $a$,
alors que a == 5 teste si $a$ vaut $5$.

]]> Le symbole ==

]]> Bonne réponse : == est le test d'égalité. Il renvoie un
booléen (True ou False).

]]> Le symbole !=

]]> Erreur : != teste la différence (l'opposé de ==).

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q16 : Analogie circuit série / porte logique Dans l'analogie entre circuits électriques et fonctions logiques,
quelle disposition de deux interrupteurs réalise la fonction ET ?

]]> Cette analogie a été formalisée par Claude Shannon en $1937$ et
a permis de relier l'algèbre de Boole à la conception de circuits
électroniques. Aujourd'hui, les transistors jouent le rôle des
interrupteurs commandés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En boucle fermée

]]> Erreur : ce n'est pas une disposition standard. Les analogies
étudiées sont la série (ET) et le parallèle (OU).

]]> En série

]]> Bonne réponse : pour qu'un voyant s'allume avec deux
interrupteurs en série, il faut que les deux soient fermés
simultanément. C'est exactement la définition du ET.

]]> En parallèle

]]> Erreur : la disposition en parallèle réalise le OU. Le voyant
s'allume dès que l'un des interrupteurs est fermé.

]]> En court-circuit

]]> Erreur : un court-circuit ne réalise pas une fonction logique
mais provoque un comportement non maîtrisé du circuit.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q17 : Première loi de De Morgan Quelle est la première loi de De Morgan, relative au complément
d'une somme ($\overline{a + b}$) ?

]]> Les deux lois de De Morgan permettent de transformer le complément
d'une opération binaire :
$\overline{a + b} = \overline{a} \cdot \overline{b}$ et
$\overline{a \cdot b} = \overline{a} + \overline{b}$.
Mémo : « on complémente chaque variable et on échange les
opérateurs ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\overline{a + b} = \overline{a} + \overline{b}$

]]> Erreur : on a complémenté chaque variable, mais on a oublié de
changer l'opérateur. De Morgan transforme une somme en produit
(et inversement).

]]> $\overline{a + b} = a + b$

]]> Erreur : aucune transformation appliquée. Le complément d'une
expression n'est pas l'expression elle-même.

]]> $\overline{a + b} = \overline{a} \cdot \overline{b}$

]]> Bonne réponse : « ne pas (A ou B) » revient à « ne pas A ET
ne pas B ». On complémente chaque variable et on échange les
opérateurs.

]]> $\overline{a + b} = a \cdot b$

]]> Erreur : on a bien échangé l'opérateur ($+$ devient $\cdot$),
mais on a oublié de complémenter chaque variable.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q18 : Distributivité du ET sur le OU Quelle est la forme développée de l'expression $a \cdot (b + c)$ ?

]]> $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$. L'algèbre de Boole
possède aussi la distributivité duale, sans équivalent en
arithmétique : $a + (b \cdot c) = (a + b) \cdot (a + c)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $a \cdot b \cdot c$

]]> Erreur : confusion entre distributivité et associativité. La
distributivité du ET sur le OU produit une somme de produits.

]]> $a \cdot b + a \cdot c$

]]> Bonne réponse : exactement comme la distributivité de la
multiplication sur l'addition en arithmétique, $a(b+c) = ab+ac$.

]]> $a + b + c$

]]> Erreur : on a perdu le ET et créé une somme à trois termes.
La distributivité ne supprime pas les opérateurs, elle les
répartit.

]]> $a \cdot b + c$

]]> Erreur : oubli du facteur $a$ devant le second terme. La
distributivité s'applique à chaque terme entre parenthèses.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q19 : Principe de non-contradiction Que vaut systématiquement l'expression $a \cdot \overline{a}$ ?

]]> Le principe de non-contradiction $a \cdot \overline{a} = 0$ et le
tiers exclu $a + \overline{a} = 1$ sont les deux propriétés duales
de complémentarité en algèbre de Boole.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\overline{a}$

]]> Erreur : par symétrie avec le distracteur précédent, le
résultat ne peut pas être $\overline{a}$ non plus.

]]> $0$

]]> Bonne réponse : c'est le principe de non-contradiction. Une
variable et son complément ne peuvent jamais valoir $1$
simultanément, donc leur ET vaut toujours $0$.

]]> $a$

]]> Erreur : si $a = 1$, alors $\overline{a} = 0$ et le produit
vaut $0$, pas $1$. Le résultat ne peut donc pas être $a$.

]]> $1$

]]> Erreur : confusion avec le tiers exclu, qui s'écrit
$a + \overline{a} = 1$ (avec un OU, pas un ET).

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q20 : Expression algébrique du OU exclusif À quelle expression algébrique correspond la fonction XOR
($a \oplus b$), exprimée à l'aide des opérateurs fondamentaux ET,
OU et NON ?

]]> L'expression $\overline{a} \cdot b + a \cdot \overline{b}$ se lit
directement sur la table de vérité : on prend les lignes où le
résultat vaut $1$ (ici $(0, 1)$ et $(1, 0)$) et on les exprime
sous forme de produits des variables ou de leurs compléments
(forme canonique disjonctive).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $a \cdot b$

]]> Erreur : c'est la définition du ET, qui ne vaut $1$ que pour
$(1, 1)$. Le XOR vaut justement $0$ dans ce cas.

]]> $\overline{a + b}$

]]> Erreur : c'est la définition de la NOR (NON-OU), qui vaut $1$
uniquement pour $(0, 0)$. Le XOR vaut $0$ dans ce cas.

]]> $a + b$

]]> Erreur : c'est le OU inclusif. Il diffère du XOR uniquement
en $(1, 1)$ : OU vaut $1$, XOR vaut $0$.

]]> $\overline{a} \cdot b + a \cdot \overline{b}$

]]> Bonne réponse : le XOR vaut $1$ quand exactement une entrée
vaut $1$ : soit « $a$ faux et $b$ vrai » ($\overline{a} \cdot b$),
soit « $a$ vrai et $b$ faux » ($a \cdot \overline{b}$).

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q21 : Simplification d'une condition Python D'après les lois de De Morgan, à quelle condition Python est
équivalente l'expression not (x > 0 and y > 0) ?

]]> Cette équivalence est très utile pour rendre les conditions
Python plus lisibles : on évite ainsi les négations imbriquées
qui obligent à un effort mental supplémentaire à la lecture.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc not x > 0 or not y > 0

]]> Erreur : la syntaxe est valable mais peu lisible (problèmes
de priorités). Surtout, on n'a pas exploité que la négation
de > 0 se simplifie en <= 0.

]]> x > 0 or y > 0

]]> Erreur : on a juste retiré le not et changé and en or,
sans complémenter les comparaisons. Pour appliquer De Morgan,
il faut complémenter chaque condition.

]]> x <= 0 and y <= 0

]]> Erreur : on a bien complémenté chaque comparaison, mais on a
oublié d'échanger and et or. De Morgan transforme un ET
en OU et inversement.

]]> x <= 0 or y <= 0

]]> Bonne réponse : par la 2ème loi de De Morgan,
$\overline{a \cdot b} = \overline{a} + \overline{b}$, donc
not (A and B) = (not A) or (not B). La négation de > 0
est <= 0.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q22 : Loi d'absorption duale D'après les lois d'absorption, à quoi est égale l'expression
$a \cdot (a + b)$ ?

]]> Les deux lois d'absorption sont duales :
$a + a \cdot b = a$ et $a \cdot (a + b) = a$.
Dans les deux cas, la variable « extérieure » domine et absorbe
la sous-expression dans laquelle elle apparaît.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $a \cdot b$

]]> Erreur : si $a = 1$ et $b = 0$, l'expression vaut $1$ alors
que $a \cdot b = 0$. Donc l'égalité ne tient pas.

]]> $b$

]]> Erreur : la variable $a$ ne peut pas disparaître. Si $a = 0$,
l'expression vaut $0$ quelle que soit la valeur de $b$.

]]> $a$

]]> Bonne réponse : c'est la duale de $a + a \cdot b = a$. On peut
la prouver en développant : $a \cdot (a + b) = a \cdot a + a \cdot b = a + a \cdot b = a$.

]]> $a + b$

]]> Erreur : oubli de la dominance de $a$. Si $a = 0$,
l'expression vaut $0$, ce qui n'est pas le cas de $a + b$
quand $b = 1$.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q23 : Construction de la fonction NON avec des NAND Quelle expression utilisant uniquement la fonction NAND (notée
$\uparrow$) et la variable $a$ permet d'obtenir $\overline{a}$ ?

]]> La porte NAND est dite universelle : avec uniquement des NAND, on
peut construire le NON ($a \uparrow a$), le ET
($(a \uparrow b) \uparrow (a \uparrow b)$) et le OU
($(a \uparrow a) \uparrow (b \uparrow b)$). Cette propriété
explique pourquoi les circuits intégrés industriels utilisent
souvent la NAND comme brique de base.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $a \uparrow \overline{a}$

]]> Erreur : cette expression suppose que l'on dispose déjà de
$\overline{a}$, qui est précisément ce que l'on cherche à
construire. C'est un raisonnement circulaire.

]]> $a + \overline{a}$

]]> Erreur : cette expression utilise les opérateurs OU et NON,
pas uniquement NAND. De plus, elle vaut toujours $1$ (tiers
exclu).

]]> $a \uparrow a$

]]> Bonne réponse : $a \uparrow a = \overline{a \cdot a} = \overline{a}$
(par idempotence). En reliant les deux entrées d'une porte
NAND, on obtient une porte NON.

]]> $\overline{a \uparrow a}$

]]> Erreur : on ajoute une négation supplémentaire, qui annule la
précédente. Cela donne $\overline{\overline{a}} = a$, et non
$\overline{a}$.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q24 : Synthèse à partir d'une table de vérité Une fonction logique $f(a, b)$ a la table de vérité suivante :
$f(0, 0) = 0$, $f(0, 1) = 1$, $f(1, 0) = 0$, $f(1, 1) = 1$.
Quelle est l'expression la plus simple de $f$ ?

]]> Lire systématiquement la table : ici $f$ vaut $0$ quand $b = 0$
et $f$ vaut $1$ quand $b = 1$, quelle que soit la valeur de $a$.
L'expression minimale est donc $f = b$. C'est un piège classique :
avant de chercher une combinaison complexe, vérifier si la sortie
ne dépend pas en réalité d'une seule entrée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f = a \cdot b$

]]> Erreur : pour $(0, 1)$, on a $a \cdot b = 0$ alors que $f = 1$.
La fonction ET ne convient pas.

]]> $f = a \oplus b$

]]> Erreur : pour $(1, 1)$, on a $a \oplus b = 0$ alors que $f = 1$.
Le XOR ne convient pas.

]]> $f = b$

]]> Bonne réponse : la sortie est égale à $b$ dans toutes les
combinaisons, indépendamment de $a$. La fonction est
dégénérée : elle ne dépend en réalité que de $b$.

]]> $f = a + b$

]]> Erreur : pour $(1, 0)$, on a $a + b = 1$ alors que $f = 0$.
La fonction OU ne convient pas.

]]> Logique booléenne et fonctions logiques — Q25 : Panne d'un interrupteur sur un circuit série Sur un circuit électrique, deux interrupteurs sont disposés en
série pour réaliser une fonction ET. Le premier interrupteur est
cassé, bloqué en position ouverte. Que peut-on dire du voyant ?

]]> Cette panne illustre concrètement la propriété de l'élément
absorbant : $a \cdot 0 = 0$. Sur un circuit série (ET), une
entrée à $0$ « absorbe » toute information venant de l'autre
entrée. Sur un circuit parallèle (OU), c'est l'inverse : une
entrée à $1$ allume le voyant indépendamment de l'autre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il s'allume normalement, l'autre interrupteur compense

]]> Erreur : en série, les deux interrupteurs doivent être fermés
simultanément pour que le courant passe. Si l'un est bloqué
ouvert, le circuit est rompu.

]]> Il clignote au rythme de l'autre interrupteur

]]> Erreur : un circuit ouvert ne laisse pas passer le courant
du tout, indépendamment de l'autre interrupteur. Aucun
clignotement n'est possible.

]]> Il reste toujours allumé

]]> Erreur : c'est l'opposé. Un interrupteur bloqué ouvert
empêche le courant de passer ; le voyant ne peut plus
s'allumer.

]]> Il reste toujours éteint

]]> Bonne réponse : un interrupteur ouvert correspond à une
entrée bloquée à $0$ pour le ET. Or $a \cdot 0 = 0$ pour
tout $a$ (élément absorbant). Le voyant reste éteint.

]]>