log₂(n).]]>g (gauche) et d (droite),m = g + (d - g) // 2. C'est plus robuste surg + d peut déborder, mais(g + d) // 2 suffit.]]>m = (g + d) // 2]]>// (division entière) garantitm = g - d]]>m = g + d]]>m = (g + d) / 2]]>/ produit un flottant eng = m + 1 (etg = m, sinon boucle infinie possible).]]>def dicho(liste, cible):
g, d = 0, len(liste)
while g < d:
m = (g + d) // 2
if liste[m] == cible:
return m
g = m
d = m
return -1]]>g = m et d = m ne réduisent pasdef dicho(liste, cible):
for x in liste:
if x == cible:
return x
return -1]]>def dicho(liste, cible):
g, d = 0, len(liste) - 1
while g <= d:
m = (g + d) // 2
if liste[m] == cible:
return m
elif liste[m] < cible:
g = m + 1
else:
d = m - 1
return -1]]>m + 1 ou m - 1 pour-1 sidef dicho(liste, cible):
return liste.index(cible)]]>list.index fait une recherchewhile g <= d:, quand lag <= d), on continue ; sinon, élément absent.]]>g == d]]>g == d satisfait encore g <= d,g > d (les deux indices se sont croisés)]]>g > d), onassert dicho([], 5) == -1.]]>None]]>-1 (pasNone).]]>-1]]>g = 0, d = -1, doncg > d immédiatement. La boucle ne s'exécute-1 directement.]]>0]]>cible = 17 dansliste = [3, 7, 11, 17, 25, 31, 42]. Quel est(0 + 6) // 2 = 3, pas 4.]]>g = 0, d = 6, milieu =(0 + 6) // 2 = 3. La valeur en indice 3 est17, qui est la cible : la dichotomieg et d) ?]]>g > d (intervalle vide,liste[g..d] (notation algorithmique inclusive des deux côtés ; en Python : liste[g:d+1])]]>g et d sont toujours égaux]]>cible = 25 dansliste = [3, 7, 11, 17, 25, 31, 42]. Combien deNote : si la question demande « comparaisons »
au sens « tests d'égalité », c'est 3 ; au
sens « décisions de moitié », c'est 2.
cible = 20 dansliste = [3, 7, 11, 17, 25, 31, 42]. Que-1, on-1 quand l'élément est absent.]]>g > d et-1.]]>while g < d: au lieu dewhile g <= d:. Quel est l'effet ?]]>g == d à la fin]]>g == d), la conditiong < d est fausse et on sort sans tester[3, 7, 11, 17, 25, 31, 42] cherche cible = 17.-1 (ou parfois None) quandlist.indexValueError à-1.]]>3]]>17 se trouve3 dans la liste (positions0 à 6). Une dichotomie standard7]]>-1 (par convention) seulement0 (la première de la liste)]]>0 correspond à la3, pas à 17. La dichotomie17]]>liste = [42] et cible = 42, combieng = 0, d = 0, doncg <= d. Une itération calcule m = 0,liste[0] et trouve la cible.]]>n log n + k log n
< k n. Approximativement k > log n.]]>O(log n).]]>d - g). Si le variant est borné inférieurement[g, d] se rétrécit strictement]]>g = m + 1 ou d = m - 1g > d).]]>g = m (au lieu de g = m + 1)liste[m] < cible. Que sedicho([1, 2], 2) qui doit renvoyer 1. Avec leg + d est pair (donc m == g)]]>g = 0, d = 1, alorsm = 0. Si on fait g = m, on reste àg = 0, et la boucle ne progresse pas.g = m + 1.]]>cible = 2 dansliste = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] (n=8). Quelsm successivement testés parg, d, m à chaque étape,m=1). Elle ne teste pas(0+7)//2 = 3, pas 4. Le calculg=0,d=7,m=3liste[3]=4 > 2, on va à gauche : d=2) ;g=0,d=2,m=1 (liste[1]=2 = cible,m]]>m peut augmenter ou diminuer selong]]>g peut rester constant si on metd.]]>d - g + 1]]>O(log n).]]>-1) ?]]>def dicho(liste, cible, g, d):
if g >= d:
return -1
m = (g + d) // 2
if liste[m] == cible:
return m
return dicho(liste, cible, g, d)]]>g >= d ratewhile g < d:),g, d provoque une récursion infinie si ladef dicho(liste, cible, g, d):
if g > d:
return -1
m = (g + d) // 2
if liste[m] == cible:
return m
elif liste[m] < cible:
return dicho(liste, cible, m + 1, d)
else:
return dicho(liste, cible, g, m - 1)]]>g > d (intervalledef dicho(liste, cible, g, d):
m = (g + d) // 2
if liste[m] == cible:
return m
elif liste[m] < cible:
return dicho(liste, cible, m + 1, d)
else:
return dicho(liste, cible, g, m - 1)]]>g > d), puis onliste[m] avec un indice invalide,def dicho(liste, cible):
if len(liste) == 0:
return -1
m = len(liste) // 2
if liste[m] == cible:
return m
elif liste[m] < cible:
return dicho(liste[m+1:], cible)
else:
return dicho(liste[:m], cible)]]>liste[m+1:] recopie une partie de la listen effectue au pire k comparaisons.2n ?]]>log₂(1000) ≈ 10).2k]]>k]]>k + 1]]>log₂(n). Or log₂(2n) = log₂(n) + 1. Donck²]]>log(2n). Cela donnerait une complexité[False, False, False, True, True, True])True. Quel principe permet deO(log n) ?]]>P(i) est une propriétéi (par exemple : « la valeur eni est True »), on trouve laO(log n) par dichotomie. TrèsTrue puis renvoyer leur position]]>True (ou les False)O(n). On perd l'avantage logarithmique.]]>False avant tous lesTrue), ce qui permet la dichotomie.]]>O(n log n).]]>True la frontière est àO(log n), en adaptant légèrement le