$course$/QCM de NSI/Terminale/Calculabilité et décidabilité Notion de programme en tant que donnée, calculabilité,
décidabilité, indépendance de la calculabilité vis-à-vis
du langage de programmation, problème de l'arrêt et son
indécidabilité (présentés sans formalisme théorique).

]]> Calculabilité et décidabilité — Q01 : Programme et donnée Pourquoi peut-on dire qu'un programme est aussi une
donnée ?

]]> Un compilateur prend en entrée un programme (donnée
texte) et en produit un autre (programme exécutable).
Un interpréteur Python lit un programme et l'exécute
ligne par ligne. Cette dualité programme/donnée
ouvre la voie à toute la métacomputation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Cette affirmation est fausse

]]> Erreur : c'est au contraire l'un des principes
fondamentaux de l'informatique.

]]> Parce qu'un programme contient toujours des données en entrée

]]> Erreur : on parle ici du programme lui-même
considéré comme donnée, pas de ses entrées.

]]> Parce qu'il occupe de la mémoire vive

]]> C'est vrai mais incomplet : la phrase clé est
que le programme peut être lu par un autre
programme, pas seulement chargé en mémoire.

]]> Parce qu'un programme est stocké dans un fichier, manipulé, transmis et lu par d'autres programmes (compilateur, interpréteur, antivirus...) au même titre que n'importe quelle donnée

]]> Bonne réponse : sur un disque, un fichier .py
est une suite d'octets exactement comme une
image ou un texte. C'est cette idée qui rend
possibles les compilateurs, les interpréteurs
ou la mise à jour automatique des logiciels.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q02 : Programme manipulé par un autre Lequel des exemples suivants illustre un programme
manipulé comme une donnée ?

]]> Les compilateurs, les interpréteurs, les
débogueurs, les antivirus ou encore les
transpileurs sont autant de programmes dont
l'entrée est elle-même un programme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un compilateur qui lit un fichier .c et produit un fichier exécutable

]]> Bonne réponse : pour le compilateur, le fichier
.c est une donnée d'entrée comme une autre.
Sa sortie est elle-même un programme.

]]> Un programme qui calcule un déterminant de matrice

]]> Erreur : la donnée traitée est une matrice
de nombres, pas un programme.

]]> Un programme qui affiche « Bonjour »

]]> Erreur : aucun programme n'est manipulé comme
donnée dans cet exemple.

]]> Un programme qui calcule la somme de deux nombres saisis par l'utilisateur

]]> Erreur : ici, les données sont des nombres,
pas un programme.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q03 : Fonction calculable Que signifie qu'une fonction f est calculable
au sens informatique ?

]]> La calculabilité capture l'idée de
« ce qu'on peut résoudre par algorithme ». Elle
ne dit rien sur la rapidité (cette question relève
de la complexité) ni sur la facilité d'écriture
(qui dépend du langage et du programmeur).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La fonction est continue

]]> Erreur : la continuité est une notion
mathématique sans rapport avec la
calculabilité informatique.

]]> La fonction s'exécute en moins d'une seconde

]]> Erreur : la calculabilité n'impose aucune
contrainte de temps. Seule l'existence d'un
algorithme fini est requise.

]]> La fonction renvoie toujours un entier

]]> Erreur : aucune contrainte sur le type de
sortie. Une fonction calculable peut renvoyer
des chaînes, des listes, des booléens, etc.

]]> Il existe un algorithme qui, pour toute entrée valide, calcule f en un nombre fini d'étapes

]]> Bonne réponse : la calculabilité dit qu'on
dispose d'un procédé algorithmique fini pour
obtenir le résultat. Le temps d'exécution
peut être très long, mais doit rester fini.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q04 : Exemple de fonction calculable Lequel des éléments suivants définit une fonction
calculable ?

]]> Les fonctions arithmétiques usuelles, les
fonctions sur les chaînes, le tri d'une liste,
l'évaluation d'une expression : toutes sont
calculables. L'indécidabilité concerne au contraire
les questions portant sur le comportement des
programmes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une fonction qui prend en entrée un programme et renvoie « oui » s'il s'arrête, « non » sinon

]]> Erreur : c'est précisément le problème de
l'arrêt, qui est indécidable, donc non
calculable.

]]> Une fonction qui à un texte associe « oui » s'il représente un programme correct

]]> Erreur : si « correct » signifie « sans bug
logique », ce problème est lié à
l'indécidabilité de l'arrêt et n'est pas
calculable en général.

]]> La fonction qui à un programme associe le nombre exact d'instructions qu'il exécutera dans tous les cas

]]> Erreur : pour certaines entrées, le programme
peut ne jamais s'arrêter ; on ne peut donc pas
toujours répondre.

]]> La fonction qui à un entier n associe son carré n²

]]> Bonne réponse : un algorithme trivial
(return n * n) calcule cette fonction en
temps fini pour tout entier n.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q05 : Indépendance du langage Une fonction est calculable. Que peut-on en
déduire sur les langages de programmation ?

]]> Tous les langages de programmation usuels sont
« équivalents » en pouvoir calculatoire : ce qu'on
peut programmer dans l'un, on peut le programmer
dans les autres. Les différences se situent au
niveau de la lisibilité, de la performance ou de
l'écosystème, pas de la calculabilité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le résultat de la fonction varie selon le langage utilisé

]]> Erreur : la fonction (au sens mathématique) est
la même quel que soit le langage qui
l'implémente.

]]> Elle ne peut être écrite qu'en Python

]]> Erreur : Python n'a aucune capacité
algorithmique particulière. Les autres
langages universels font tout aussi bien.

]]> Elle peut être implémentée dans n'importe quel langage de programmation universel (Python, C, Java, OCaml...)

]]> Bonne réponse : la calculabilité ne dépend
pas du langage utilisé. Tout langage assez
expressif (autorisant boucles ou récursivité,
conditions, mémoire) peut implémenter
n'importe quelle fonction calculable.

]]> Elle nécessite obligatoirement un langage récursif

]]> Erreur : on peut tout calculer avec des
boucles itératives, sans récursion explicite.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q06 : Problème décidable Qu'appelle-t-on un problème décidable ?

]]> Exemples décidables : « cet entier est-il pair ? »,
« ce mot est-il dans le dictionnaire ? », « ce
nombre est-il premier ? ». Pour chacun, on dispose
d'un algorithme qui répond toujours en temps fini.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un problème pour lequel il existe un algorithme qui répond toujours « oui » ou « non » en un nombre fini d'étapes, pour toute instance

]]> Bonne réponse : un problème décidable est un
problème de décision (« oui »/« non ») dont
la réponse est calculable pour toutes les
entrées. L'algorithme doit toujours
terminer.

]]> Un problème dont la réponse est connue par avance

]]> Erreur : la décidabilité concerne l'existence
d'un algorithme général, pas la connaissance
a priori.

]]> Un problème qui n'a pas de solution

]]> Erreur : c'est exactement l'inverse. Un
problème décidable a une solution
algorithmique systématique.

]]> Un problème facile à résoudre

]]> Erreur : la décidabilité ne dit rien sur la
difficulté. Beaucoup de problèmes décidables
sont très coûteux à résoudre.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q07 : Exemple de problème décidable Lequel de ces problèmes est clairement décidable ?

]]> Beaucoup de propriétés syntaxiques sur les
programmes (longueur du code, présence d'un
mot-clé...) sont décidables, mais les propriétés
sémantiques (comportement, terminaison,
résultat) sont rarement décidables.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Étant donné un programme, dire s'il contient un bug logique

]]> Erreur : ce problème est indécidable au sens
général (lié au problème de l'arrêt).

]]> Étant donné un programme Python, dire s'il s'arrêtera sur l'entrée 0

]]> Erreur : c'est une instance du problème de
l'arrêt, qui est indécidable en général.

]]> Étant donné un entier n, déterminer s'il est divisible par 7

]]> Bonne réponse : un simple test n % 7 == 0
répond toujours en temps fini, pour tout
entier n.

]]> Étant donné deux programmes, dire s'ils calculent la même fonction sur toute entrée

]]> Erreur : c'est aussi un problème indécidable
en général.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q08 : Problème indécidable Qu'est-ce qu'un problème indécidable ?

]]> Un problème indécidable est une limite
théorique de l'informatique : il existe des
questions qu'aucun ordinateur, présent ou futur,
ne pourra résoudre dans le cas général.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un problème qui demande beaucoup de mémoire

]]> Erreur : la consommation mémoire n'a aucun
rapport avec la décidabilité.

]]> Un problème dont la réponse change selon la machine utilisée

]]> Erreur : la décidabilité est indépendante de
la machine.

]]> Un problème difficile, qu'on n'a pas encore résolu

]]> Erreur : « indécidable » est un résultat
mathématique d'inexistence, pas d'attente.

]]> Un problème de décision pour lequel il n'existe aucun algorithme qui, pour toute entrée, donne une réponse correcte en temps fini

]]> Bonne réponse : il ne s'agit pas de dire
qu'on n'a pas trouvé d'algorithme : on a
démontré qu'il n'en existe pas, et n'en
existera jamais.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q09 : Énoncé du problème de l'arrêt Comment énonce-t-on le problème de l'arrêt ?

]]> L'enjeu : disposer d'un programme universel
arrete?(P, e) qui, donné un programme P et
une entrée e, répondrait toujours « oui » si
P termine sur e, « non » sinon. Ce programme
n'existe pas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Comment savoir combien de temps un programme va s'exécuter ?

]]> Erreur : c'est une question de complexité,
pas de calculabilité.

]]> Comment arrêter un programme qui boucle sans fin ?

]]> Erreur : la question pratique « arrêter un
programme » (avec Ctrl-C par exemple) n'a
rien à voir avec le problème théorique.

]]> À quel moment faut-il interrompre une compilation ?

]]> Erreur : aucun rapport avec la calculabilité.

]]> Existe-t-il un algorithme qui, pour tout couple (programme, entrée), répond « oui » si le programme s'arrête sur cette entrée, « non » s'il boucle indéfiniment ?

]]> Bonne réponse : c'est l'énoncé classique. La
réponse, démontrée par Turing en 1936, est
non.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q10 : Statut du problème de l'arrêt Le problème de l'arrêt est :

]]> Démontrer l'indécidabilité de l'arrêt est l'un
des grands résultats fondateurs de l'informatique
théorique. Il pose une limite absolue à ce
que les ordinateurs peuvent décider.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Décidable, mais coûteux

]]> Erreur : il est mathématiquement démontré
qu'aucun algorithme ne peut le résoudre.

]]> Indécidable

]]> Bonne réponse : aucun algorithme ne peut
décider, dans le cas général, si un
programme arbitraire s'arrête sur une entrée
donnée. C'est un théorème dû à Alan Turing
(1936).

]]> Décidable, et résolu par les antivirus

]]> Erreur : les antivirus utilisent des
heuristiques (signatures, comportements
suspects), pas une décision exacte. Une
détection parfaite reviendrait à résoudre
l'arrêt.

]]> Inconnu de la communauté scientifique

]]> Erreur : le résultat est connu et démontré
depuis 1936.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q11 : Idée de la démonstration L'argument classique de Turing pour montrer que
l'arrêt est indécidable consiste à supposer qu'on
possède un tel décideur, puis à :

]]> L'idée force est l'auto-référence : on
construit un programme qui interroge le décideur
à propos de lui-même puis fait le contraire de la
prédiction. Le décideur ne peut donc pas exister.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Mesurer le temps d'exécution de tous les programmes possibles

]]> Erreur : aucun rapport avec la démonstration
d'indécidabilité.

]]> Programmer le décideur en plusieurs langages et comparer

]]> Erreur : la démonstration ne dépend pas du
langage utilisé.

]]> Construire un programme qui « se contredit » lui-même en utilisant le décideur sur sa propre entrée

]]> Bonne réponse : à partir du décideur supposé
arrete?, on fabrique un programme D qui
fait l'inverse de ce que prédit arrete? sur
son propre code. On obtient alors une
contradiction.

]]> Réécrire les programmes en machine de Turing

]]> Erreur : la machine de Turing est un cadre
formel possible, mais ce n'est pas l'idée
centrale de la preuve.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q12 : Conséquence pratique Quelle conséquence pratique l'indécidabilité du
problème de l'arrêt a-t-elle sur le développement
logiciel ?

]]> L'indécidabilité de l'arrêt entraîne celle de
nombreuses autres propriétés : équivalence de
deux programmes, absence de bugs, terminaison sur
toutes les entrées, etc. Les outils d'analyse
statique sont donc nécessairement incomplets.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Plus aucun nouveau bug ne peut être trouvé

]]> Erreur : c'est l'inverse, on continue à
trouver des bugs régulièrement.

]]> On ne peut pas écrire un programme qui détecte toutes les boucles infinies dans n'importe quel autre programme

]]> Bonne réponse : aucune analyse statique ne
pourra repérer toutes les boucles infinies
ou tous les bugs de terminaison. C'est
pourquoi les tests, les revues de code et les
assertions restent indispensables.

]]> Les ordinateurs ne peuvent pas exécuter de programmes

]]> Erreur : aucun rapport. L'indécidabilité ne
concerne que la prédiction du
comportement des programmes.

]]> Les langages modernes ne contiennent plus jamais de boucles infinies

]]> Erreur : on peut tout à fait écrire des
boucles infinies dans tous les langages,
volontairement ou non.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q13 : Calculable ou décidable Quelle est la différence entre calculable et
décidable ?

]]> Tout problème décidable correspond à une fonction
indicatrice calculable. La réciproque est vraie :
pour qu'un problème de décision soit décidable,
il faut et il suffit que sa fonction indicatrice
soit calculable.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc « Calculable » signifie « facile », « décidable » signifie « difficile »

]]> Erreur : aucun rapport avec la difficulté.

]]> « Calculable » concerne les nombres, « décidable » concerne les chaînes

]]> Erreur : aucune contrainte sur le type des
données.

]]> « Calculable » s'applique aux fonctions, « décidable » aux problèmes de décision (à réponse oui/non)

]]> Bonne réponse : un problème de décision est
décidable lorsque la fonction associée
(« oui » ou « non ») est calculable et que
l'algorithme termine toujours. Les deux
notions sont étroitement liées.

]]> Aucune différence, ce sont des synonymes

]]> Erreur : « calculable » est plus général ;
« décidable » est réservé aux problèmes à
réponse binaire.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q14 : Cas particuliers Pour certains programmes, on peut savoir
facilement s'ils s'arrêtent. Ce qui est
indécidable, c'est :

]]> L'indécidabilité concerne l'existence d'un
algorithme général. Cas par cas, beaucoup
de programmes peuvent être analysés, parfois
automatiquement. Mais il existera toujours des
cas où aucun algorithme général ne peut conclure.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc De le faire pour tous les programmes possibles, avec un seul algorithme général

]]> Bonne réponse : un humain peut analyser un
petit programme et raisonner sur sa
terminaison. Ce qui est impossible, c'est de
construire un algorithme qui réussisse pour
n'importe quel programme et n'importe
quelle entrée.

]]> De le faire pour les programmes écrits en Python

]]> Erreur : la limite ne dépend pas du langage.

]]> De le faire en moins d'une heure

]]> Erreur : aucun rapport avec la durée
d'analyse.

]]> De le faire pour les programmes courts

]]> Erreur : pour les programmes courts, l'analyse
humaine ou des outils dédiés peuvent souvent
répondre. C'est le cas général qui est
indécidable.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q15 : Machine universelle L'idée d'ordinateur universel repose sur
laquelle des affirmations suivantes ?

]]> C'est cette universalité qui rend possibles les
ordinateurs polyvalents : un seul appareil
exécute traitement de texte, jeux, navigateur,
compilateurs, etc., simplement en chargeant des
programmes différents.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un même dispositif peut exécuter n'importe quel programme, à condition de lui fournir le code de ce programme en entrée

]]> Bonne réponse : c'est exactement le concept
de machine universelle de Turing (1936) et,
en pratique, de tout ordinateur moderne.

]]> Tous les programmes peuvent s'écrire sans boucles

]]> Erreur : sans rapport avec l'universalité.

]]> Tous les ordinateurs ont le même processeur

]]> Erreur : il existe de nombreux processeurs
différents (x86, ARM, RISC-V…). L'universalité
est une propriété logique, pas matérielle.

]]> Tout calcul peut s'effectuer instantanément

]]> Erreur : aucun rapport avec la vitesse.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q16 : Interpréteur écrit dans son langage On peut écrire un interpréteur Python en Python
(par exemple via la fonction exec). Que
montre cet exemple ?

]]> Cette propriété, dite « réflexivité », existe dans
la plupart des langages modernes (eval en
JavaScript, en Lisp, etc.). Elle est cohérente
avec l'idée que les programmes sont des données.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Que Python est plus rapide que les autres langages

]]> Erreur : aucun rapport avec la performance.

]]> Que exec rend Python incalculable

]]> Erreur : exec ne change rien aux capacités
de calcul du langage ; il en illustre simplement
l'aspect réflexif.

]]> Que exec est une fonction obsolète

]]> Erreur : exec est une fonction standard de
Python, à utiliser avec précaution mais
toujours valide.

]]> Qu'un programme peut prendre un autre programme comme donnée et l'exécuter, illustrant la dualité programme/donnée

]]> Bonne réponse : la fonction exec traite le
texte d'un programme comme une donnée
d'entrée et l'exécute. C'est l'expression
concrète de la dualité programme/donnée.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q17 : Détection de logiciels malveillants Pourquoi est-il impossible d'écrire un
antivirus parfait qui détecterait tous les
logiciels malveillants sans aucune erreur ?

]]> Cet exemple est souvent cité pour illustrer les
conséquences pratiques de l'indécidabilité.
Les antivirus bons en pratique combinent
détection par signature, analyse comportementale
et apprentissage statistique, toujours sans
garantie absolue.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Parce que les antivirus sont mal programmés

]]> Erreur : la limite est théorique, elle ne
dépend pas de la qualité de l'implémentation.

]]> Parce que reconnaître précisément le comportement d'un programme arbitraire est lié au problème de l'arrêt, qui est indécidable

]]> Bonne réponse : décider si un programme aura
un certain comportement (lire un fichier
sensible, par exemple) est en général
indécidable. Les antivirus s'appuient donc
sur des heuristiques (signatures,
comportements suspects), jamais sur une
décision exacte.

]]> Parce que les antivirus sont trop lents

]]> Erreur : la lenteur n'est pas la cause de
l'imperfection. Même avec un temps infini,
aucun algorithme ne peut décider tous les
cas.

]]> Parce que les antivirus ne peuvent pas analyser un fichier

]]> Erreur : ils peuvent l'analyser, mais ne
peuvent pas en déduire avec certitude tout
son comportement.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q18 : Identifier des problèmes décidables Parmi les problèmes suivants, lesquels sont
décidables ? Sélectionnez la proposition
correcte.

]]> La frontière passe entre les questions
syntaxiques ou portant sur des données
finies (souvent décidables) et les questions
portant sur le comportement d'un programme
(souvent indécidables).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les trois sont décidables

]]> Erreur : le problème de l'arrêt est
indécidable.

]]> « Cet entier est-il premier ? » et « cette chaîne contient-elle un point d'interrogation ? » sont décidables ; « ce programme s'arrête-t-il ? » ne l'est pas

]]> Bonne réponse : les deux premières questions
se résolvent par un algorithme simple et
terminant ; la dernière est l'archétype du
problème indécidable.

]]> Aucun de ces problèmes n'est décidable

]]> Erreur : la primalité et la recherche d'un
caractère sont décidables.

]]> Tous les problèmes énoncés en français sont décidables

]]> Erreur : le langage de l'énoncé n'a aucun
rapport avec la décidabilité.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q19 : Programme à terminaison non triviale Considérons le programme suivant qui prend en
entrée un entier n > 0 :

`python while n != 1: if n % 2 == 0: n = n // 2 else: n = 3 * n + 1`

Que peut-on dire de sa terminaison ?

]]> Cet exemple montre que prédire la terminaison
d'un programme, même très court, peut être
extrêmement difficile. Ce n'est pas surprenant :
le problème général de l'arrêt est indécidable.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Personne ne sait, à ce jour, démontrer qu'il termine pour tout n positif (conjecture de Syracuse)

]]> Bonne réponse : c'est la suite de Syracuse
(ou « 3n+1 »). Pour tous les entiers
testés, le programme termine, mais une
démonstration générale reste un problème
mathématique ouvert.

]]> Il termine en au plus 100 étapes

]]> Erreur : pour certains n assez petits, le
nombre d'étapes peut dépasser plusieurs
centaines.

]]> Il termine si et seulement si n est pair

]]> Erreur : il termine aussi pour beaucoup
d'entiers impairs (par exemple n = 7).

]]> On a démontré qu'il ne termine jamais

]]> Erreur : pour tous les entiers testés
numériquement, il termine.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q20 : Une fonction non calculable Pourquoi la fonction « f(P) vaut 1 si le
programme P s'arrête sur l'entrée vide, 0
sinon » n'est-elle pas calculable ?

]]> Toutes les fonctions « qui s'amusent à prédire
le comportement » d'un programme arbitraire
tendent à être non calculables. C'est l'écho
direct du théorème de Turing.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Parce que les programmes ne sont pas tous écrits en Python

]]> Erreur : la calculabilité est indépendante
du langage de programmation.

]]> Parce qu'on ne sait pas représenter un programme comme une donnée

]]> Erreur : on sait parfaitement représenter un
programme comme une donnée (texte, octets...).
C'est précisément le concept clé de la
calculabilité.

]]> Parce que la fonction renvoie un entier

]]> Erreur : aucun rapport avec le type de
sortie.

]]> Parce que la calculer reviendrait à décider le problème de l'arrêt, ce qui est impossible en général

]]> Bonne réponse : tout algorithme calculant
f serait un décideur du problème de
l'arrêt. Comme ce dernier est indécidable,
f n'est pas calculable.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q21 : Histoire : Alan Turing Quelle contribution majeure Alan Turing a-t-il
apportée en 1936 ?

]]> Turing (1912-1954) est l'un des fondateurs
de l'informatique théorique. Son article de 1936
précède même l'apparition des premiers
ordinateurs physiques.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il a posé les fondements de la calculabilité moderne et démontré l'indécidabilité du problème de l'arrêt

]]> Bonne réponse : son article « On Computable
Numbers » introduit la machine universelle
(notion d'ordinateur programmable) et
démontre l'indécidabilité de l'arrêt.

]]> Il a inventé Internet

]]> Erreur : Internet est apparu dans les années
1960-70 (ARPANET), bien après Turing.

]]> Il a écrit le premier compilateur

]]> Erreur : le premier compilateur est
généralement attribué à Grace Hopper (1952).

]]> Il a inventé le langage Python

]]> Erreur : Python a été créé par Guido van
Rossum en 1991, des décennies après
Turing.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q22 : Calculabilité et complexité Un problème décidable mais qui demande un
temps astronomique en pratique :

]]> Décidabilité et complexité sont deux questions
distinctes : la décidabilité demande s'il existe
un algorithme ; la complexité demande à quel
coût (temps, mémoire). Un problème peut être
« décidable mais inutilisable en pratique ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Disparaît automatiquement après quelques années

]]> L'indécidabilité est un
résultat mathématique
intemporel, prouvé une fois
pour toutes. Elle ne dépend
ni du temps qui passe, ni
des progrès matériels.

]]> Reste décidable. La calculabilité ne dit rien sur le temps d'exécution

]]> Bonne réponse : un problème peut être
décidable et avoir une complexité telle que
l'algorithme reste inutilisable en pratique.
La distinction calculable / décidable est
séparée de la question de l'efficacité.

]]> N'est plus un problème

]]> Un problème indécidable
reste un problème, même
si on en connaît une partie
du domaine. L'indécidabilité
est un résultat mathématique
permanent.

]]> Devient indécidable

]]> Erreur : l'indécidabilité signifie qu'aucun
algorithme n'existe, pas qu'il existe
mais soit lent.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q23 : Programme qui lit son propre code Pourquoi est-il important, en théorie de la
calculabilité, qu'un programme puisse lire ou
manipuler son propre code source ?

]]> L'auto-référence est un thème récurrent en
mathématiques (paradoxe du menteur, théorème de
Gödel) et en informatique théorique. Elle est
au cœur des grandes limitations de la
calculabilité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Parce que c'est l'auto-référence qui rend possible l'argument d'indécidabilité du problème de l'arrêt

]]> Bonne réponse : l'argument de Turing
construit un programme qui interroge le
décideur d'arrêt à propos de lui-même.
Sans auto-référence, le raisonnement par
l'absurde ne fonctionnerait pas.

]]> Parce que cela permet d'écrire des programmes plus rapides

]]> Erreur : aucun rapport direct avec la
performance.

]]> Parce que cela rend les programmes immortels

]]> La durée de vie d'un
programme dépend de
l'environnement d'exécution
et de la maintenance, pas
de sa capacité à manipuler
son propre code source.

]]> Parce que cela évite les bugs

]]> Manipuler son propre code
n'évite pas les bugs : c'est
un mécanisme théorique
d'auto-référence, sans lien
avec la qualité logicielle.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q24 : Langages équivalents Deux langages de programmation A et B sont
dits équivalents en calculabilité si :

]]> L'équivalence en calculabilité justifie
l'expression « tout langage de programmation
universel ». Quel que soit le langage choisi,
les questions calculables et décidables sont
les mêmes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ils s'exécutent à la même vitesse

]]> Erreur : la vitesse est une question de
complexité, pas de calculabilité.

]]> Ils sont compilés par le même compilateur

]]> Erreur : le compilateur ne change pas la
puissance du langage.

]]> Toute fonction calculable dans A l'est aussi dans B, et réciproquement

]]> Bonne réponse : tous les langages usuels
(Python, C, Java, OCaml, Haskell…) sont
équivalents en ce sens. C'est précisément
ce qui justifie qu'on parle de
« calculabilité » sans préciser le langage.

]]> Ils ont la même syntaxe

]]> Erreur : la syntaxe peut être très
différente entre deux langages équivalents.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q25 : Synthèse : Limites de la calculabilité Laquelle des affirmations suivantes résume le
mieux l'apport de la calculabilité à
l'informatique ?

]]> La calculabilité est une boussole : elle dit ce
qui est faisable algorithmiquement, ce qui ne
l'est pas, et invite donc à choisir des
stratégies pragmatiques (heuristiques, tests,
preuves partielles) lorsqu'on touche aux
limites.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La calculabilité dépend du processeur utilisé

]]> Erreur : elle est indépendante du matériel.

]]> La calculabilité ne sert à rien dans la pratique

]]> Erreur : elle éclaire la conception des
outils d'analyse statique, des antivirus,
des compilateurs, etc.

]]> Il existe des limites théoriques, démontrées dès 1936, à ce qu'un ordinateur peut décider, indépendamment de sa puissance ou du langage utilisé

]]> Bonne réponse : la calculabilité fixe des
frontières que la technologie ne peut
franchir. Elle invite à concevoir des
analyses incomplètes mais utiles, et à
combiner outils automatiques, tests et
revues humaines.

]]> Tout problème pourra finir par être résolu avec des ordinateurs assez puissants

]]> Erreur : c'est précisément ce que l'indé-
cidabilité réfute. Aucune puissance de
calcul ne suffit à résoudre un problème
indécidable.

]]> Calculabilité et décidabilité — Q26 : Frontière calculable / décidable / faisable Considérons les trois questions suivantes :
(a) « Cet entier est-il pair ? », (b) « Existe-t-il
un sous-ensemble d'une liste de cent entiers dont
la somme vaut zéro ? », (c) « Ce programme
arbitraire s'arrête-t-il sur une entrée donnée ? ».
Comment se classent-elles ?

]]> Trois niveaux à distinguer : décidable et
faisable (parité, primalité, tri) ; décidable
mais coûteux (sac à dos, voyageur de
commerce) ; indécidable (arrêt, équivalence
sémantique de programmes). La calculabilité
tranche le binaire « algorithme existe ou
pas » ; la complexité affine selon le coût.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les trois sont indécidables

]]> Erreur : (a) et (b) sont parfaitement
décidables. Pour (b), un algorithme de force
brute énumère tous les sous-ensembles, ce qui
termine toujours en temps fini.

]]> Les trois sont décidables et faciles

]]> Erreur : (c) est indécidable, (b) n'a pas de
solution efficace connue (NP-complet). Seule
(a) est à la fois décidable et facile.

]]> (a) facile, (b) indécidable, (c) décidable

]]> Erreur : c'est exactement l'inverse pour (b)
et (c). (b) est décidable mais coûteux ; (c)
est l'archétype de l'indécidable.

]]> (a) décidable et facile, (b) décidable mais
potentiellement coûteux à résoudre, (c)
indécidable

]]> Bonne réponse : (a) est résolu en O(1) avec
un test de parité. (b) est le problème de la
somme partielle, NP-complet : décidable
(existence d'un algorithme qui termine
toujours), mais sans algorithme polynomial
connu, donc lourd en pratique pour de grandes
listes. (c) est l'arrêt, démontré indécidable.
Cette graduation montre que « décidable » ne
signifie pas « facile ».

]]> Calculabilité et décidabilité — Q27 : L'argument d'auto-référence en pratique Supposons qu'on dispose d'un programme arrete?(P, e)
qui répondrait toujours True ou False. Pour
construire la contradiction, on définit :
`



def D(P):

    if arrete?(P, P):

        while True: pass

    return

Que se passe-t-il quand on appelle D(D)` ?

]]> L'argument est un parent direct du paradoxe du
menteur (« cette phrase est fausse ») et du
théorème d'incomplétude de Gödel. L'auto-
référence permet de fabriquer un objet
contradictoire à partir de tout candidat
« décideur universel », rendant son existence
impossible.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Si arrete?(D, D) renvoie True, alors D(D)
devrait s'arrêter selon la prédiction, mais le
code entre dans la boucle infinie : contradiction.
Si arrete?(D, D) renvoie False, alors
D(D) ne devrait pas s'arrêter, mais le code
renvoie immédiatement : contradiction. La
double contradiction prouve que arrete? ne
peut exister

]]> Bonne réponse : c'est le cœur de la preuve de
Turing. Quel que soit ce que arrete? répond
sur (D, D), le programme D fait
précisément l'inverse de ce qui est prédit.
Aucune valeur de retour ne peut donc être
correcte. La supposition initiale (existence
d'arrete?) est donc fausse. C'est un
raisonnement par l'absurde fondé sur l'auto-
référence (D reçoit son propre code).

]]> Le programme arrete? retournerait simplement
une erreur, ce qui résoudrait la situation

]]> Erreur : on suppose au départ que arrete?
répond toujours par True ou False,
jamais par une erreur. C'est précisément ce
que la preuve montre impossible : un tel
oracle parfait ne peut exister.

]]> Le programme D(D) ne pose aucun problème :
arrete? répond simplement par défaut

]]> Erreur : c'est précisément le piège. La
contradiction ne disparaît pas en choisissant
une réponse par défaut. Quelle que soit la
réponse de arrete?(D, D), on construit un
programme qui fait l'inverse, donc la
prédiction est fausse.

]]> La contradiction n'apparaît que si Python est
compilé, pas interprété

]]> Erreur : le langage ou son mode d'exécution
n'a aucun rôle. La preuve est mathématique et
se transpose à n'importe quel langage de
programmation universel.

]]>